2008年6月21日土曜日

論理包含について考えてみた

命題論理を勉強すると,論理包含(含意,implication)なんてものが出てくる.「論理包含の真理値表はこうです.」というふうに説明されても,いまいちピンとこないって思う.だから,考えてみた.

とりあえず,講義的な説明をやってみる.

命題 p, q が与えられ,p を前件,q を後件とした論理包含を「p->q」のように表し,「p ならば q」と読む.また,ここでは論理包含の記号を->(右向きの矢印を模している.)とする.

この真理値表は次のようになる.(T が真を F が偽を表す.)



講義的に説明するとこんなかんじだ.これだと,なんでこーなんのってところに触れられていないんだよね.

もう少し,言葉として考えてみるとわかりやすいんじゃないかなぁ.こんなかんじに.

「p->q」は,「p が真であるならば必ず q が真である.」ということ表していることになる.

だから,「p が真」で「q が真」である場合,「p が真であるならば必ず q が真である.」は正しいので真である.

しかし,「p が真」で「q が偽」である場合,「p が真であるならば必ず q が真である.」は間違っているので偽である.

「p が真であるならば必ず q が真である.」は,「p が偽」であることを規定していない.

だから,「p が偽」である場合,「p が真であるならば必ず q が真である.」は正しいので真である.

これで,整理できただろうか.「p が偽」は逆に考えるとわかりやすいかも.

「p が真であるならば必ず q が真である.」が真のとき,「p が偽」で「q が真」であることは矛盾しない.

「p が真であるならば必ず q が真である.」が真のとき,「p が偽」で「q が偽」であることは矛盾しない.

ということなんだな.わかってもらえただろうか.

参考文献:
Wikipedia: 論理包含

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