論理包含について考えてみた

命題論理を勉強すると，論理包含（含意，implication）なんてものが出てくる．「論理包含の真理値表はこうです．」というふうに説明されても，いまいちピンとこないって思う．だから，考えてみた．

とりあえず，講義的な説明をやってみる．

命題 p, q が与えられ，p を前件，q を後件とした論理包含を「p->q」のように表し，「p ならば q」と読む．また，ここでは論理包含の記号を->（右向きの矢印を模している．）とする．

この真理値表は次のようになる．（T が真を F が偽を表す．）



講義的に説明するとこんなかんじだ．これだと，なんでこーなんのってところに触れられていないんだよね．

もう少し，言葉として考えてみるとわかりやすいんじゃないかなぁ．こんなかんじに．

「p->q」は，「p が真であるならば必ず q が真である．」ということ表していることになる．

だから，「p が真」で「q が真」である場合，「p が真であるならば必ず q が真である．」は正しいので真である．

しかし，「p が真」で「q が偽」である場合，「p が真であるならば必ず q が真である．」は間違っているので偽である．

「p が真であるならば必ず q が真である．」は，「p が偽」であることを規定していない．

だから，「p が偽」である場合，「p が真であるならば必ず q が真である．」は正しいので真である．

これで，整理できただろうか．「p が偽」は逆に考えるとわかりやすいかも．

「p が真であるならば必ず q が真である．」が真のとき，「p が偽」で「q が真」であることは矛盾しない．

「p が真であるならば必ず q が真である．」が真のとき，「p が偽」で「q が偽」であることは矛盾しない．

ということなんだな．わかってもらえただろうか．

参考文献：
Wikipedia: 論理包含